analytic proof for Lagrange

\(P\)가 극점
함수 \(f\)가 초곡면(n공간에서 미분 가능한 등위면) \(g\)로 제한됨
\( S := \lbrace X \in U \mspace{3mu} | \mspace{3mu} g(X) = c \rbrace \)
\(\mathrm{grad}g(P) = 0\) 인 경우는 당연히 \(\mathrm{grad}f(P)\)와 일차종속( \( \lambda_1 \mathrm{grad}f(P) + \lambda_2 \mathrm{grad}g(P) = 0 \) )
아닌 경우,
점 P에서 S의 접평면의 임의의 벡터 \( v \)는, S에 포함되는 곡선 \( X(t) \)중에서
\( X(0) = P , \quad X'(0) = v \)
로 주어진다. 그러면 \( h(t) := f(X(t)) \)도 \( t=0 \)일 때 극값을 가진다. 따라서
\( 0 = h'(0) = \mathrm{grad} f(P) \cdot X'(0) \)
\( \mathrm{grad}g(P) \)도 등위면 \(S\)에 수직이므로 \(\mathrm{grad}f(P)\)와 \(\mathrm{grad}g(P)\)는 나란하다.
\(t\)는 임의로 잡은 값이므로 어떤 값이어도 무관하다.