analytic proof for Lagrange

$P$가 극점
함수 $f$가 초곡면(n공간에서 미분 가능한 등위면) $g$로 제한됨
$S := \lbrace X \in U \mspace{3mu} | \mspace{3mu} g(X) = c \rbrace$
$\mathrm{grad}g(P) = 0$ 인 경우는 당연히 $\mathrm{grad}f(P)$와 일차종속( $\lambda_1 \mathrm{grad}f(P) + \lambda_2 \mathrm{grad}g(P) = 0$ )
아닌 경우,
점 P에서 S의 접평면의 임의의 벡터 $v$는, S에 포함되는 곡선 $X(t)$중에서
$X(0) = P , \quad X'(0) = v$
로 주어진다. 그러면 $h(t) := f(X(t))$도 $t=0$일 때 극값을 가진다. 따라서
$0 = h'(0) = \mathrm{grad} f(P) \cdot X'(0)$
$\mathrm{grad}g(P)$도 등위면 $S$에 수직이므로 $\mathrm{grad}f(P)$와 $\mathrm{grad}g(P)$는 나란하다.
$t$는 임의로 잡은 값이므로 어떤 값이어도 무관하다.