distance between a point and a plane (Lagrange)

n공간 전체에서 정의된 일급함수 $g$의 등위면 $g=c$에서 n공간의 한 점 $P$에 이르는 최단거리를 주는 점은 항상 존재한다. 이 때 $\text{grad}\left( \frac 12 | X - P |^2 \right) = X - P$ 이므로, (이하로 grad는 $\nabla$) 최단점 $X$에서는 ($\nabla g(X) = 0$이 아니라면)
$$X-P = \lambda \nabla g(X)$$
인 실수 $\lambda$가 존재한다. (목적함수를 $\frac 12 | X - P |^2$로 잡은 것)
구체적으로,
$$S := \{ (x_1, ... , x_n) | a_1x_1 + ... + a_nx_n = c \}$$ 라고 하자.
이 때, $A := (a_1, ... , a_n)$으로 두면, 점 $P = (p_1, ... , p_n)$과 $S$사이의 최단거리는
$$X - P = \lambda A , \qquad A \cdot X = c$$
를 만족시키는 점 $X$와 $P$사이의 거리다.
양변에 $A$를 곱하면
$$A \cdot (X-P) = \lambda |A|^2$$
$$\lambda = \frac{c - A \cdot P }{|A|^2}$$
구하는 점 X는
$$X = P + \lambda A = P + \frac{c - A \cdot P}{|A|^2}A$$
이때의 거리는
$$|X-P| = |\lambda A| = \frac{|c - A \cdot P|}{|A|} = \frac{|a_1p_1 + ... + a_np_n - c|}{\sqrt{a_1^2 + ... + a_n^2}}$$

analytic proof for Lagrange

$P$가 극점
함수 $f$가 초곡면(n공간에서 미분 가능한 등위면) $g$로 제한됨
$S := \lbrace X \in U \mspace{3mu} | \mspace{3mu} g(X) = c \rbrace$
$\mathrm{grad}g(P) = 0$ 인 경우는 당연히 $\mathrm{grad}f(P)$와 일차종속( $\lambda_1 \mathrm{grad}f(P) + \lambda_2 \mathrm{grad}g(P) = 0$ )
아닌 경우,
점 P에서 S의 접평면의 임의의 벡터 $v$는, S에 포함되는 곡선 $X(t)$중에서
$X(0) = P , \quad X'(0) = v$
로 주어진다. 그러면 $h(t) := f(X(t))$도 $t=0$일 때 극값을 가진다. 따라서
$0 = h'(0) = \mathrm{grad} f(P) \cdot X'(0)$
$\mathrm{grad}g(P)$도 등위면 $S$에 수직이므로 $\mathrm{grad}f(P)$와 $\mathrm{grad}g(P)$는 나란하다.
$t$는 임의로 잡은 값이므로 어떤 값이어도 무관하다.