\( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{210} \) 을 만족하는 정수해는 모두 몇개인가
이런 문제를 Diophantine problem이라고 하는데, 일반적으로는 unsolvable하다고 증명이 있다. Hilbert's tenth problem으로도 유명하다. 위와 같은 형태 말고도 여러 형태가 있으며 초등학생도 아는 Fermat's Last Theorem도 여기 속한다.(Wiles의 증명은 number theory가 아니고 비교적 최근에 개발된 현대수학-algebraic geometry분야-적 기법들로 이루어졌다. )
위 문제의 답은 162
2013년 10월 7일 월요일
2013년 10월 5일 토요일
\( \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{e^x+1}dx \)
\( X
= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{e^x+1}dx \\
= -\int_{\frac{\pi}{2}}^{-{\frac{\pi}{2}}} \frac{\cos( -u)}{e^{-u} + 1}du \\
= \int_{-{\frac{\pi}{2}}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos( -u)}{e^{-u} + 1}du \\
= \int_{-{\frac{\pi}{2}}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos u}{e^{-u} + 1}du \\
= \int_{-{\frac{\pi}{2}}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{e^{-x} + 1}dx
\)
\(
X + X = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{e^x+1}dx + \int_{-{\frac{\pi}{2}}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{e^{-x} + 1}dx
\)
\(
\frac{\cos x}{e^x+1} + \frac{\cos x}{e^{-x} + 1} = \frac{\cos x}{e^x+1} + \frac{e^x\cos x}{1+e^x} = \frac{\cos x (e^x + 1)}{e^x + 1} = \cos x
\)
\(
2X = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = 2 \\
X=1
\)
= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{e^x+1}dx \\
= -\int_{\frac{\pi}{2}}^{-{\frac{\pi}{2}}} \frac{\cos( -u)}{e^{-u} + 1}du \\
= \int_{-{\frac{\pi}{2}}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos( -u)}{e^{-u} + 1}du \\
= \int_{-{\frac{\pi}{2}}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos u}{e^{-u} + 1}du \\
= \int_{-{\frac{\pi}{2}}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{e^{-x} + 1}dx
\)
\(
X + X = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{e^x+1}dx + \int_{-{\frac{\pi}{2}}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{e^{-x} + 1}dx
\)
\(
\frac{\cos x}{e^x+1} + \frac{\cos x}{e^{-x} + 1} = \frac{\cos x}{e^x+1} + \frac{e^x\cos x}{1+e^x} = \frac{\cos x (e^x + 1)}{e^x + 1} = \cos x
\)
\(
2X = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = 2 \\
X=1
\)
2013년 9월 25일 수요일
2013년 9월 6일 금요일
Fault-free tiling
Problem.
Answer.
http://www.umflint.edu/math/Field_Day/2005Problems/TeamEssayProblems2005.pdf
Ron Graham's Theorem.
It doesn't need to understand all theorems in that pdf. Just the last page(p.7) is enough to solve this problem.
Answer.
http://www.umflint.edu/math/Field_Day/2005Problems/TeamEssayProblems2005.pdf
Ron Graham's Theorem.
It doesn't need to understand all theorems in that pdf. Just the last page(p.7) is enough to solve this problem.
2013년 6월 7일 금요일
2013년 6월 4일 화요일
inverse matrix's eigenvalue
\(A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v} \implies A^{-1}A\mathbf{v} = \lambda A^{-1}\mathbf{v}\implies A^{-1}\mathbf{v} = \frac{1}{\lambda}\mathbf{v}\)
Gerschgorin's Disk Theorem
\(A\) 가 \( n \times n \) (real or complex) matrix라 하면, \(A\)의 모든 eigenvalue 는 Gerschgorin disk 내부에 있다.
2013년 5월 23일 목요일
test
test
When $a \ne 0$, there are two solutions to \(ax^2 + bx + c = 0\) and they are $$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}.$$
\(
\begin{pmatrix}
a & b & c & a\\
d & d & d & 1\\
a & a & a & 3333
\end{pmatrix}
\)
한글 글꼴확인
나는 철저한 프로이트적인 관점을 지닌 아버지의 주치의에게 왜 10대 딸은엄마에게 그렇듯 비판적이냐고 물어보았다. 의사가 대답했다. "10대의 몸에는 호르몬 에너지가 미친 듯이 돌고 있는데, 그게 여러 가지 이유 때문에 엄마에 대한 분노로 표출됩니다. 딸은 자신이 가임기가 되면서 어마어마한 영향력을 갖게 되었고, 그 때문에 가족이 자기를 더 존중한다는 사실을 무의식적으로 깨닫는 것 같아요. 가족의 영속은 이제 딸에게 달렸지요. 딸이 그 영역으로 들어옴과 맞물려 엄마는 그 영역을 떠납니다. 엄마와 딸의 분쟁을 놓고 가족이 의논을 한다면 아빠들은 틀림없이 딸 편을 듭니다." 내 기억에 아버지는 누이에 대해 그런 입장을 취했던 것 같지 않은데. 어머니가 계속 집안을 호령했던 것 같은데. "아버지뿐 아니라 모든 사람이 딸 편을 들지요. 가족이 생산력 높은 여성을 우선 보호하도록 유전자가 몰아가는 겁니다. 그러니 딸이 엄마에게 느끼는 분노는 가임 능력을 통해 얻은 권력의 맛과 아이 낳는 사람으로 지정된 데에 대한 부담감이 섞인 것입니다."
When $a \ne 0$, there are two solutions to \(ax^2 + bx + c = 0\) and they are $$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}.$$
\(
\begin{pmatrix}
a & b & c & a\\
d & d & d & 1\\
a & a & a & 3333
\end{pmatrix}
\)
한글 글꼴확인
나는 철저한 프로이트적인 관점을 지닌 아버지의 주치의에게 왜 10대 딸은엄마에게 그렇듯 비판적이냐고 물어보았다. 의사가 대답했다. "10대의 몸에는 호르몬 에너지가 미친 듯이 돌고 있는데, 그게 여러 가지 이유 때문에 엄마에 대한 분노로 표출됩니다. 딸은 자신이 가임기가 되면서 어마어마한 영향력을 갖게 되었고, 그 때문에 가족이 자기를 더 존중한다는 사실을 무의식적으로 깨닫는 것 같아요. 가족의 영속은 이제 딸에게 달렸지요. 딸이 그 영역으로 들어옴과 맞물려 엄마는 그 영역을 떠납니다. 엄마와 딸의 분쟁을 놓고 가족이 의논을 한다면 아빠들은 틀림없이 딸 편을 듭니다." 내 기억에 아버지는 누이에 대해 그런 입장을 취했던 것 같지 않은데. 어머니가 계속 집안을 호령했던 것 같은데. "아버지뿐 아니라 모든 사람이 딸 편을 들지요. 가족이 생산력 높은 여성을 우선 보호하도록 유전자가 몰아가는 겁니다. 그러니 딸이 엄마에게 느끼는 분노는 가임 능력을 통해 얻은 권력의 맛과 아이 낳는 사람으로 지정된 데에 대한 부담감이 섞인 것입니다."
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