Diophantine problem

\( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{210} \) 을 만족하는 정수해는 모두 몇개인가

이런 문제를 Diophantine problem이라고 하는데, 일반적으로는 unsolvable하다고 증명이 있다. Hilbert's tenth problem으로도 유명하다. 위와 같은 형태 말고도 여러 형태가 있으며 초등학생도 아는 Fermat's Last Theorem도 여기 속한다.(Wiles의 증명은 number theory가 아니고 비교적 최근에 개발된 현대수학-algebraic geometry분야-적 기법들로 이루어졌다. )
위 문제의 답은 162

\( \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{e^x+1}dx \)

\( X
= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{e^x+1}dx \\
= -\int_{\frac{\pi}{2}}^{-{\frac{\pi}{2}}} \frac{\cos( -u)}{e^{-u} + 1}du \\
= \int_{-{\frac{\pi}{2}}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos( -u)}{e^{-u} + 1}du \\
= \int_{-{\frac{\pi}{2}}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos u}{e^{-u} + 1}du \\
= \int_{-{\frac{\pi}{2}}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{e^{-x} + 1}dx 
\)
\(
X + X = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{e^x+1}dx + \int_{-{\frac{\pi}{2}}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{e^{-x} + 1}dx
\)

\(
\frac{\cos x}{e^x+1} + \frac{\cos x}{e^{-x} + 1} = \frac{\cos x}{e^x+1} + \frac{e^x\cos x}{1+e^x} = \frac{\cos x (e^x + 1)}{e^x + 1} = \cos x
\)

\(
2X = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = 2 \\
X=1
\)

vector diagonal

A cube has four diagonals. No two of them are perpendicular.

Fault-free tiling

Problem.

Answer.
http://www.umflint.edu/math/Field_Day/2005Problems/TeamEssayProblems2005.pdf
Ron Graham's Theorem.
It doesn't need to understand all theorems in that pdf. Just the last page(p.7) is enough to solve this problem.

Descartes's Rule of Signs

http://www.math.tamu.edu/~rojas/wangdescartes.pdf

inverse matrix's eigenvalue

\(A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v} \implies A^{-1}A\mathbf{v} = \lambda A^{-1}\mathbf{v}\implies A^{-1}\mathbf{v} = \frac{1}{\lambda}\mathbf{v}\)

Gerschgorin's Disk Theorem

\(A\) 가 \( n \times n \) (real or complex) matrix라 하면, \(A\)의 모든 eigenvalue 는 Gerschgorin disk 내부에 있다.